《数学原理》全书篇幅浩繁：据说这本书因用一千页篇幅证明1+1=2而闻名。正如序言所强调，书中证明过程极尽详尽，只为杜绝证明中出现未明确陈述的前提。《数学原理》的目标是提出一套极为基础的概念，并证明仅凭这套概念就能构建起全部数学体系。倘若在今日出版，书中所有证明大概率会被移至附录（或交由定理证明器处理），真正重要的是那些基础概念与体系框架——而这些内容大多在序言和第一章中阐释。

以下是我阅读《数学原理》第一章时做的若干笔记，其中包含雅克·卡雷特（Jacques Carette）友善提供的多条评论。

阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）与伯特兰·罗素（Bertrand Russell）著《数学原理》 剑桥：剑桥大学出版社，1910年起出版

<http://name.umdl.umich.edu/AAT3201.0001.001>

完整扫描版文本由密歇根大学历史数学馆藏提供，在此致谢。

林斯基（Bernard Linsky）：《〈数学原理〉中的符号体系》 《斯坦福哲学百科全书》（2026年夏季版），爱德华·N·扎尔塔（Edward N. Zalta）、尤里·诺德尔曼（Uri Nodelman）主编

<https://plato.stanford.edu/archives/sum2026/entries/pm-notation/>

若p≡q，则f(p)≡f(q)。此处f(p)是包含另一个命题p的命题。用现代术语来说，我们会将f称为语境，记作C[]，并表述为：若p≡q，则C[p]≡C[q]——这便是我们熟知的指称透明语境定义。书中随后给出一个指称不透明语境的例子：“A相信p”。当用等价命题替换p时，这个命题的含义会发生变化。这个例子揭示了这一概念的起源：它来自语言学，具体而言源自弗雷格（Frege）的研究（书中脚注提及了弗雷格）。书中指出：“数学始终关注外延而非内涵”（此处同样借用了弗雷格的术语，但采用了英文译法）。

……定义并非我们研究对象的一部分，严格来说，它们只是排版层面的便利手段……尽管理论上定义是多余的，但实际上它们往往比使用它们的命题承载着更重要的信息……定义的集合体现了我们对研究主题的选择，以及我们对事物重要性的判断。其次……定义包含对某个通用概念的分析，因此可能代表着显著的学术进展。

作者随后引入了命题函项的符号：“x受伤了”（称为模糊命题）在未确定x指代对象前，根本不构成任何断言。不过，由于模糊变元x仍保留个体性，它是一类命题的模糊实例——这类命题由“x受伤了”中x取所有可能值（使得命题有真有假）得到。

\hat{x}受伤了。尽管在同一语境中，“x受伤了”和“y受伤了”可以被区分，但“\hat{x}受伤了”和“\hat{y}受伤了”在含义上毫无差别。这段文字最后总结道：“更一般地说，φx是命题函项φ\hat{x}的模糊取值；当用确定的指称a替换x时，φa就是φ\hat{x}的确定取值。”由此，我们看到了自由变元、约束变元、替换以及α等价的概念。

变元的话题在第17页再次出现，这次是在讨论量化公式时：

书中接着引入了变元的辖域概念。符号“(x).φx”（现代记法为∀x.φ(x)）代表一个确定的命题，在同一语境中，“(x).φx”与“(y).φy”含义完全相同……符号“(x).φx”与符号∫abφ(x) dx有一定相似性，因为两者中的x都不是表达式的函项……“(x).φx”或“(∃x).φx”中的x（沿用皮亚诺（Peano）的叫法）被称为“表面变元”。

《数学原理》中的“表面变元”对应现代术语中的约束变元；而书中的“真实变元”如今被称为自由变元。用定积分来举例说明约束变元和α等价的做法十分精妙，也表明λ演算有着深厚的历史渊源，不得不让人佩服莱布尼茨（Leibniz）的远见卓识。

⊢ f x。 作者随后引入了我们如今所说的概括规则，即∀引入规则（第20页介绍了其逆规则∀消去规则，《数学原理》将其表述为“凡对全体成立者，对任意个体亦成立”）。当我们断言包含真实变元的命题时，例如⊢ x = x，我们断言的是命题函项的任意取值。当我们断言包含表面变元的命题时，例如⊢ (x).x = x（现代记法为⊢ ∀ x. x=x），我们断言的是该命题函项的所有取值。显然，只有当所有取值都为真时，我们才能断言“任意”取值；否则，由于变元的取值尚未确定，可能会出现使命题为假的情况。因此，在上述例子中，既然我们有⊢ x = x，就可以推导出⊢ (x).x = x。

尽管在《数学原理》的逻辑体系（后来被提炼为一阶逻辑）中，模式公式（代表任意）与对应的全称量化公式等价，但作者仍希望区分这两个概念。

普通数学公式包含此类（真实变元）断言；例如sin² x + cos² x = 1既不是断言该公式的某个具体实例，也不是断言该公式对x的所有可能取值都成立——尽管它与后者等价；它只是断言该公式成立，完全不指定x的取值。这种断言之所以合法，是因为无论x取何值，命题都为真。

⊢ φy ⊂ (∃x).φx： 对罗素和怀特海而言，“实践中证明存在性定理的唯一方法”是找到一个具体的例证。他们或许是无意识地采用了直觉主义甚至构造主义的观点，而这一观点早在1910年就已在书中提出……上述命题给出了实践中证明存在性定理的唯一方法：我们必须找到某个特定的y使得φy成立，进而推导出(∃x).φx。如果我们假设所谓的乘法公理，或策梅洛（Zermello）提出的等价公理，那么在一类重要的案例中，我们可以在找不到具体真命题实例的情况下证明存在性定理。

雅克·卡雷特指出，布劳威尔（Brouwer）也在同期发表论著（不过需要说明的是，布劳威尔当时的著作对数学家而言晦涩难懂。直觉主义与经典数学的争论真正始于赫尔曼·外尔（Hermann Weyl））。雅克进一步指出，这种构造主义的某些观点可以追溯到30年前的克罗内克（Kronecker）。

⊢ ∀x. φ(x) ∧ ∀x. ψ(x) ⇒ ∀x. φ(x) ∧ ψ(x)，作者写道：“这要求φ和ψ是取相同类型变元的函项”

x ∈ man字面意思是“x是一个人”。 （我并非指《数学原理》首次提出这一符号，它当时已经是通用记法。）

二元关系R诱导出一个函项R'y，表示满足xRy的唯一x。书中并未对R施加限制；不过后续引入了定义域的概念，即所有使得存在唯一x满足xRy的y构成的类。因此，一对多关系也可以定义一个函项，只是其定义域为空集。

《数学原理》将这种由二元关系诱导的函项称为摹状函项（如今常被称为“限定摹状词”）。这一名称及相关阐释遵循了罗素五年前（在其著名论文《论指称》（On denoting），《心灵》（Mind）第14卷第4期，1905年）提出的自然语言摹状词理论。

雅克·卡雷特指出，早在1910年，《数学原理》就已预见了“限定摹状词”与“显式函项”的区别，因为当时数学中已经存在相关实例。“解析延拓就是数学中这类例子之一：它具有函项性，但并非严格意义上的‘函项’，因为其中涉及一定的选择。”

勒德洛（Peter Ludlow）：《摹状词》 《斯坦福哲学百科全书》（2023年冬季版），爱德华·N·扎尔塔、尤里·诺德尔曼主编

<https://plato.stanford.edu/archives/win2023/entries/descriptions/>