正格拉斯曼流形的普遍性
Chanelle Nibbelink 为《量子杂志》供稿
引言
交通流的特定数学模型、浅水波运动、量子粒子散射——这些看似毫不相干的领域，究竟有何共通之处？答案藏在代数组合学的一个分支里，它的名字叫正格拉斯曼流形（positive Grassmannian）。简单来说，正格拉斯曼流形是一种用于分类其他几何结构的"元结构"。更神奇的是，将它拆解重组后，能揭示出上述诸多系统背后共享的深层规律。
正格拉斯曼流形能在现实世界的诸多场景中现身，很大程度上要归功于哈佛大学数学家劳伦·威廉姆斯（Lauren Williams）的理论研究。在《追问的乐趣》（The Joy of Why）最新一期节目中，威廉姆斯与联合主持人史蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）畅谈自己的研究：她如何发现正格拉斯曼流形无处不在的身影，又如何在看似毫无关联的数学领域间搭建桥梁。两人还聊到了威廉姆斯参与的另一项名为"First Proof"的项目——该项目旨在客观评估AI系统生成科研级数学证明的能力，并由此探讨AI是否会取代数学家的话题。
你可以通过 Apple Podcasts、Spotify、TuneIn 或任意播客应用收听，也可直接 在《量子杂志》官网播放。
注：本期对话录制后，"First Proof第二批次"项目成果已于2026年6月10日发布。
对话文本
[音乐起]
史蒂文·斯特罗加茨： 好了。
詹娜·莱文： 可以开始了吗？真的要开始了？
斯特罗加茨： 我是史蒂文·斯特罗加茨，
莱文： 我是詹娜·莱文。
斯特罗加茨： 欢迎收听《追问的乐趣》。
莱文： 本播客由《量子杂志》出品，我们将一同探索当今数学与科学领域最前沿的未解之谜。
斯特罗加茨： 今天先从我最近和一位代数组合学家的对话说起。
莱文： 哦哟。
斯特罗加茨： 怎么听到这个就"哎哟"了？
莱文： 感觉好难啊。"代数"和"组合学"这两个词单独看都懂，但组合学应该是某种离散代数吧？
斯特罗加茨： 差不多，研究的就是离散对象或结构。
莱文： 我一想到组合学，就会联想到对事物的各种排列方式——比如热力学里统计熵的计算，或是一串数字有多少种排列可能。这算组合学的范畴吗？会不会太浅显了？
斯特罗加茨： 一点都不浅显，完全说到点子上了。就算听众没接触过热力学或统计物理，玩纸牌游戏时也在接触组合学。
莱文： 没错！
斯特罗加茨： 比如一副52张的扑克牌，拿到三条、对子或顺子的概率各是多少？这类计数或概率问题正是组合学的起源之一。如今，只要需要巧妙高效地计数或结构化地整理事物，组合学就派得上用场。
莱文： 这个类比太棒了，和我想的一模一样。比如拿到五张牌，第一张是K，剩下四张有多少种组合可能？接下来三张、两张，直到最后一张，一步步推演下去。
斯特罗加茨： 对，你提到了关键——组合学的核心就是探究可能性的各种组合。
莱文： 太有意思了。
斯特罗加茨： 在正式进入本期内容前，我想听听你的看法：关于数学中的"美"。我知道物理学家有时会把美当作判断理论的标准——你怎么笑了？
莱文： 哈哈！我觉得物理学家是最后一群还能一本正经把"美"当严肃评判标准的人了。如果一个理论看起来繁琐、丑陋、不够简洁，我们就会怀疑哪里出错了，或是背后藏着更深层的规律。这种判断方式看似主观，却屡试不爽。
斯特罗加茨： 这正是最奇妙也最不可思议的地方：美本身很难定义，但我们却默认宇宙有着绝佳的"品味"，可以用美来筛选理论。
莱文： 没错。
斯特罗加茨： 也就是说，我们可以把美当作理论的筛选标准。
莱文： 是啊。我不知道这种趋势现在是否依然强劲，但它确实取得过巨大成功。而且我们能量化对称性、结构化程度、简洁的表达式——这些都算是数学语境下对"美"的有力诠释。
斯特罗加茨： 嗯。那我们就从这里切入，听听劳伦·威廉姆斯对数学之美的看法——不是物理学中的美，而是纯数学中的美。她是新晋麦克阿瑟天才奖得主、哈佛大学数学家，你会在对话中发现，她特别擅长在看似无关的领域间寻找关联，而她的研究常常围绕组合学中一个听起来更吓人的对象展开：正格拉斯曼流形。
莱文： 唔……
斯特罗加茨： 准备好深入这个领域了吗？
莱文： 格拉斯曼本人可是位了不起的数学家，我已经很感兴趣了。
斯特罗加茨： 那我们开始吧。
[音乐起]
斯特罗加茨： 欢迎来到《追问的乐趣》。
威廉姆斯： 谢谢邀请，很高兴能来。
斯特罗加茨： 劳伦，我特别想和你聊聊，除了你那些优美的数学成果，你的研究还触及了数学中一个带有哲学意味的奇妙侧面。
先从一些个人问题开始吧。我和妻子有两个女儿，我了解到你是四姐妹中的老大？
威廉姆斯： 没错，我是四个女孩里的大姐。
斯特罗加茨： 那你的姐妹们也都擅长数学吗？
威廉姆斯： 是的，她们都喜欢数学。我们姐妹间的年龄差分别是两岁、两岁和六岁，我小时候家里特别热闹。
我记得教最小的妹妹热纳维耶芙做进位加法时，她才四五岁。我给她演示了方法，还布置了几道题。她做完回来时笑得特别开心——她居然用了一种不一样的方法，从左往右算，而不是常规的从右往左，自己觉得特别有意思。
我不想替她们说话，但在我印象里，数学对她们来说是件好玩的事。和我年龄最接近的妹妹埃莉诺，在我上四五年级、她比我小两岁的时候，我们决定不学外语，转而学密码。我们先学凯撒密码，后来还自己发明密码，花了好多时间，玩得不亦乐乎，就像拥有了一门秘密语言。
斯特罗加茨： 我在网上看到你拉小提琴的照片，不禁好奇：你对美的追求——无论是音乐还是数学——是不是一种普遍的兴趣？
威廉姆斯： 确实如此。我四岁开始拉小提琴，那曾是我的一大爱好。我还写过诗歌和故事。数学中的美，和音乐、诗歌中的美有很多共通之处，比如简洁、对称、和谐，它们之间有很强的关联。
我不知道是早年学音乐培养了我对数学的欣赏能力，还是对数学的感知力与对音乐的欣赏力相辅相成——我真的说不清。
斯特罗加茨： 我们快进一下，你能给大家解释一下什么是组合学吗？这个领域研究的是哪些问题？
威廉姆斯： 大致来说，组合学是对有限或离散结构的研究。入门时，人们会学到很多计数技巧，研究不同对象并用非负整数（0、1、2……）来计数。
其实三四十年前，组合学在数学界地位不高，被一些纯粹数学家视为"一堆技巧的集合"。但我的导师理查德·斯坦利（Richard Stanley）是推动组合学成为主流领域的关键人物之一。他写过几本精彩的著作，向世人展示了组合学背后蕴含的丰富结构和深层理论，尤其是他在代数组合学领域的大量成果——即用代数方法研究组合问题。
斯特罗加茨： 你刚才提到有些数学分支曾被视为边缘学科，会随着潮流兴衰，这涉及到数学界的社会学问题，能展开说说吗？
威廉姆斯： 这确实是一种社会学现象，部分原因和学科的历史有关。比如数论，研究数字及其算术性质（比如质数），是一门非常古老的学科，享有很高的声誉，费马大定理就是数论领域的巅峰成就之一。而组合学直到最近才获得认可。
理查德·斯坦利在20世纪60年代读哈佛博士时，哈佛甚至没有研究组合学的教授。他想跟着MIT的组合学家吉安-卡洛·罗塔（Gian-Carlo Rota）做研究，哈佛的老师却劝他："别做这种小儿科数学。"
幸好他坚持了下来，彻底改变了这个领域。近十年，数学家许埈珥（June Huh）凭借组合学与代数几何交叉领域的工作获得菲尔兹奖，这或许标志着组合学终于获得了广泛认可。
斯特罗加茨： 你说到点子上了：数学各分支间的关联性，本身就影响着学科的地位。如果一个学科被视为孤立的边缘领域，与其他数学分支联系甚少，它的声誉就会较低；而那些处于"核心"的学科（比如你提到的代数几何），地位则更高。
威廉姆斯： 没错。
斯特罗加茨： 我一开始问你关于数学之美的问题，现在想把它和我读到的你的一句话联系起来："如果你的问题得不到优美的答案，说明你问错了问题。"我想听听你对此的看法。
威廉姆斯： 好的。读研究生时，我参加各种研讨会和课程，一直在思考：不同的人觉得数学中什么有趣、什么美丽？我自己又觉得什么有趣、什么美丽？我从导师那里学到了一种审美：研究成果应当是优美的。作为纯数学家，我们不必受特定问题或应用的束缚，那我们该用什么标准要求自己？我认为应该追求美。
纯数学家拥有完全的自由，可以研究任何问题，那我想做的就是寻找能得到优美答案的问题。我发现，这类问题和答案往往会成为最重要的成果，或是与数学内外的其他领域产生最多关联。
斯特罗加茨： 在大众眼中，数学是一门非黑即白的学科，答案非对即错。但当你谈论美时，它听起来非常主观——毕竟有句老话叫"情人眼里出西施"。数学家如此痴迷于美，而美又难以定义，这似乎有些矛盾。我首先想知道，什么样的数学是不美的？
威廉姆斯： 一段优美的数学成果应该简洁、优雅，或许还能连接两个看似无关的数学对象。相比之下，如果一个定理的陈述就要用上几段甚至几页纸，那它就不太可能被视为优美。
还有一种情况是，某个定理或事实显得非常随意、具体。比如你问："如果在平面上画73条随机直线，再画一条曲线经过其中四个交点，会发生什么？"这类问题的答案就不太可能被认为是美的。而像"质数有无穷多个"这样的陈述，简短、简洁、具有普遍性，就更符合美的标准。
斯特罗加茨： 我明白了，你所说的审美倾向于简洁、极简，偏爱普遍性，不喜欢过于具体的内容。越通用、越凝练越好。不过我听出你似乎对某些类型的数有所偏爱？
威廉姆斯： 毕竟我是个组合学家嘛。
斯特罗加茨： 哈哈，懂了。
威廉姆斯： 但我想强调的是，能在无穷多案例中成立的定理，比只有单一答案（某个具体数字）的问题更具美感。
斯特罗加茨： 假如我们写一本数学家自助手册，当你研究的东西不符合这些（或其他）审美标准时，该怎么做？有没有办法让研究回归"优美轨道"？
威廉姆斯： 我会尝试调整问题。如果我得到的答案不够优雅、缺乏趣味，我会修改问题。极端情况下我可能会放弃，但如果感觉附近一定藏着有趣的东西，我就会调整问题的方向。
斯特罗加茨： 这真是个好策略——很多领域的研究者被问题束缚，但你提到数学家有研究自由，所以可以利用这种自由调整问题。或许丑陋的答案正是在提示你，问题本身不够恰当。现在我理解你那句话的意思了。
威廉姆斯： 没错。我想音乐或艺术领域的人也能理解这种感受：比如作曲家尝试某个主题，但总觉得和声不对，他们也会反复调整框架或方法，直到得到满意的作品。
斯特罗加茨： 那我们现在深入聊聊格拉斯曼流形和正格拉斯曼流形——它们曾是纯数学家的"游乐场"。
首先，这到底是什么？对于从未听说过格拉斯曼流形的人，能用最简单的例子解释一下吗？
威廉姆斯： 好的。格拉斯曼流形是一种几何对象，有点像一个"图书馆"，用来记录更简单的几何结构。比如，二维空间中的1-平面格拉斯曼流形，就是所有过原点的直线的集合。
格拉斯曼流形中，每条直线都穿过球面的北半球。
塞缪尔·贝拉斯科/《量子杂志》
我们把所有这些直线看作一个统一的数学对象。想象二维平面中所有过原点的直线，而正格拉斯曼流形就是其中那些穿过正卦限的直线的集合。
斯特罗加茨： 我来梳理一下这些直线。比如指南针上，南北方向是同一条直线，对吧？
威廉姆斯： 没错。
斯特罗加茨： 东西方向也是同一条直线。
威廉姆斯： 对，还有无数条可以通过旋转得到的直线。
斯特罗加茨： 所以有无数条不同的直线，而你说可以把它们看作一个单一的形状？
威廉姆斯： 是的。如果考虑二维空间中所有过原点的直线，每条直线都会穿过指南针的"北半区"。你可以用直线与单位圆的交点来代表每条直线——只看上半圆的话，每个点都唯一对应一条过原点的直线。
斯特罗加茨： 就像指南针上的刻度，从北、东北，甚至更细分的方向都有。
威廉姆斯： 对。
斯特罗加茨： 这样命名起来会很繁琐，但你说上半圆上有无数个点，所有这些点构成的集合就是你所说的半圆。那赤道（东西方向的点）怎么处理？
威廉姆斯： 我们只需要保留其中一个点，因为东西方向属于同一条直线，所以去掉另一个点即可。
斯特罗加茨： 那所有这些直线的集合，是不是可以看作从东（不包含东点）到西（包含西点）的一段线段？
威廉姆斯： 完全正确。
斯特罗加茨： 也就是一个半开区间？
威廉姆斯： 对。
斯特罗加茨： 这是个有点奇怪的对象，不对称的半开区间——我总想把另一个端点补上，但为了得到格拉斯曼流形，不能这么做。
威廉姆斯： 其实我们可以把两个端点"粘合"起来，这样就对称了。
斯特罗加茨： 好的。那正格拉斯曼流形只包含正卦限里的部分？
威廉姆斯： 对。三维空间中的直线格拉斯曼流形看起来像北半球，而正格拉斯曼流形就是这个半球与正卦限的交集，形状有点像一个弯曲的三角形。
正格拉斯曼流形是格拉斯曼流形中所有斜率非负的直线构成的部分。
塞缪尔·贝拉斯科/《量子杂志》
斯特罗加茨： 这里的"卦限"是三维版的象限吧？
威廉姆斯： 没错。
斯特罗加茨： 三维空间有八个卦限，所以用"卦限"这个词。
威廉姆斯： 对，正卦限就是x、y、z坐标都为非负的区域。
斯特罗加茨： 你说它像弯曲的三角形。看到这里，听众可能会问：为什么有人要研究这种东西？这看起来不是个很自然的研究对象啊。
威廉姆斯： 确实，一开始没人觉得它重要。但在20世纪，数学家研究一种叫"全正矩阵"的对象，发现它们有很好的性质，还和振动等系统有关。
到了20世纪90年代末、21世纪初，卢斯蒂格（Lusztig）和波斯尼科夫（Postnikov）意识到，可以把全正矩阵的概念推广到格拉斯曼流形中的对象上。于是，研究格拉斯曼流形上的全正性就成了一个纯数学领域的有趣课题。
现实世界中有很多描述运动和对称性的矩阵集合。
斯特罗加茨： 矩阵在量子理论中很常用，现在人工智能也离不开它。就算在数学内部，矩阵也像"机器"一样，能作用于其他数学对象。
威廉姆斯： 对，数学中的一个常见主题是，我们不仅研究数学对象，还研究对象之间的关系。矩阵为我们提供了一种创建或分析这些关系的方法。
斯特罗加茨： 你最知名的成果之一，就是用组合学方法研究一般情况下的正格拉斯曼流形。能给我们讲讲这项研究的大致思路吗？
威廉姆斯： 当然可以。我读研究生或做博士后时，曾和其他数学家聊过组合学到底是什么。我们当时提到，组合学不仅是一个领域，更是一种思维方式。我们可以用组合学的视角去看待不同问题。
正格拉斯曼流形可以被分解为不同维度的"碎片"。我喜欢用立方体类比：如果一个组合学家看三维立方体，会说它有6个二维面（各个侧面的正方形）、12条一维棱，还有8个零维顶点，并用6、12、8这些数字来描述立方体。
正格拉斯曼流形有无穷多个，维度也可以任意高。我研究生时的第一个课题，就是找出一个明确的公式，计算正格拉斯曼流形中不同维度的碎片数量。
我推导了一个多项式，只要给定参数k和n，就能算出对应正格拉斯曼流形中各维度碎片的数量。
斯特罗加茨： 现在我们从矩阵、格拉斯曼流形这些抽象领域，转向更接地气的场景：交通、海浪、细胞内的蛋白质合成——这些居然都能被纳入同一个理论框架。
威廉姆斯： 没错。我亲身参与过三个领域的研究，它们都和正格拉斯曼流形有关。做博士后时，我看到另一位数学家西尔维·科泰尔（Sylvie Corteel）的论文，发现我用来计算正格拉斯曼流形碎片数量的多项式，居然能用来计算一个模型中的概率——这个模型原本是用来研究蛋白质合成中的翻译过程，后来也被用作交通流模型。
看到这篇论文时我惊呆了，没想到我的多项式居然和"现实世界"有关。她的成果非常优美：我的多项式可以计算，在一个有n个位置的格子（或能容纳n辆车的道路）中，恰好有k辆车的概率。
既然我们能算出道路上恰好有k辆车的概率，那自然会问：如果想知道车停在第1、4、5、8位的概率是多少呢？也就是任意车辆位置组合的概率。这个问题开启了我和西尔维长达数十年的合作，我们已经一起发表了多篇论文。
[音乐起]
斯特罗加茨： 这里面信息量很大，詹娜，你听明白了吗？
莱文： 大概懂一些。就是说把一个数学对象拆成碎片，找出计算不同维度碎片数量的规则。不过能不能给我一个更宏观的视角：格拉斯曼流形到底是什么？
斯特罗加茨： 好问题，毕竟这不是个日常概念。先不说技术定义，先说说它有什么用：它是个非常棒的"元概念"，是一种能描述其他形状的形状。
莱文： 嗯。
斯特罗加茨： 它就像一个图书馆或目录，用来归类其他结构或形状。
莱文： 那它是单个形状，还是一族形状？
斯特罗加茨： 是一族形状，有不同的格拉斯曼流形。我可以给你一个技术定义，但别太纠结，因为这不是最直观的理解方式。
从技术上讲，格拉斯曼流形是n维空间中所有过原点的k维线性子空间的集合——比如二维子空间是平面，一维子空间是直线，三维子空间就是我们熟悉的三维空间。这里有两个参数k和n。
最简单的例子是平面中过原点的直线，也就是n=2，k=1的情况。
莱文： 也就是1-2格拉斯曼流形？
斯特罗加茨： 对。虽然有无数条直线，但我们可以用"方向"来给它们分类——比如南北向、东北-西南向等等。如果把所有这些方向列出来，就构成了上半圆，这就是一个形状。
莱文： 所以人们研究不同的格拉斯曼流形，有的维度高，有的维度低？
斯特罗加茨： 没错。劳伦专门研究其中的"正格拉斯曼流形"部分，在刚才那个平面直线的例子里，就是只考虑斜率为正的直线。这部分有额外的结构，在很多应用中更有用。
一开始，这似乎只是纯几何学家会研究的内容——一种分类其他形状的形状。但神奇的是，它在现实世界中无处不在，比如劳伦提到的交通流。不过这里的交通不是指高速公路上行驶的汽车，而是类似疫情期间超市结账的排队场景：人们要保持六英尺距离，假设排队区有10个位置（对应n），人们随机到来、随机离开，前面有空位时才能向前移动一个位置。
如果让这个系统运行足够长时间，你可以统计10个位置中恰好有4个人（对应k）的所有可能情况。而4-10正格拉斯曼流形，就能告诉我们某一特定人数分布的概率。
莱文： 我很好奇，疫情期间确实需要解决这类问题，比如疫苗分发中心的人流管理。但人们怎么会发现，解决实际问题的多项式，居然和纯数学家研究正格拉斯曼流形得到的多项式是同一个？他们怎么注意到这种关联的？
斯特罗加茨： 这可能正是劳伦·威廉姆斯和她的合作者西尔维·科泰尔的独特天赋所在。而且不止排队问题：核糖体沿着mRNA移动合成蛋白质时，也会出现同样的结构。你看，正格拉斯曼流形居然能应用在这么多截然不同的场景中。
广告之后，劳伦·威廉姆斯会解释为什么会出现这种现象，为什么它如此普遍，还会聊到人工智能是否会取代数学研究。
[音乐起]
斯特罗加茨： 欢迎回到《追问的乐趣》。今天我们邀请到哈佛大学数学家劳伦·威廉姆斯，聊代数组合学和正格拉斯曼流形。
斯特罗加茨： 我特别想问，为什么这些抽象数学能和现实世界产生关联？我知道目前还没有完整答案。
威廉姆斯： 我觉得有意思的是，交通流模型是粒子相互排斥的系统，浅水波是波的相互作用，散射振幅是粒子碰撞后的相互作用——它们本质上都是粒子或波的相遇与相互排斥。
格拉斯曼流形的坐标是普吕克坐标（Plücker coordinates）。如果你有一个k×n矩阵，可以把它看作一列列向量。如果两个向量靠得太近、几乎重合，对应的普吕克坐标就会变为零。所以格拉斯曼流形的普吕克坐标本身就蕴含了这种"排斥"性质。
我一直在想，能不能把这三个不同的场景（粒子排斥、水波、散射振幅）联系起来，而答案似乎就藏在格拉斯曼流形的普吕克坐标里。
斯特罗加茨： 这个答案太棒了，比你一开始说的更具体。我看过一些图，比如费曼图里粒子相互靠近然后弹开，或是水波的波形图——这些图看起来几乎一模一样。
威廉姆斯： 没错，没错。
斯特罗加茨： 所以如果从深层结构看，它们都是同一个模式，只是在数学和现实世界中表现形式不同，但机制是一样的。你说普吕克坐标为零对应排斥，是不是意味着它们不会穿过彼此？
威廉姆斯： 其实可以穿过，但穿过时会有符号变化。
斯特罗加茨： 哦？
威廉姆斯： 说到浅水波，我一直在思考为什么"正性"如此重要。分析浅水波的解时，我们会用到KP方程的孤子解，这涉及到一个τ函数，它是某个函数的对数，而这个函数正是由普吕克坐标构建的。只要普吕克坐标都是非负的，取对数的对象就始终为正。
但如果失去这种正性，考虑整个格拉斯曼流形而不只是正的部分，就可能会取零或接近零的数的对数，导致浅水波模型的结果趋向正负无穷，这显然不符合现实世界的情况。
所以，要让模型符合现实，就必须避开普吕克坐标为零的情况，也就是限制在正格拉斯曼流形中。
斯特罗加茨： 如果说得更通俗一点，是不是可以认为，自然界和人类思维中存在一些基础模式，只要足够根本，就会在不同领域反复出现？你研究的正格拉斯曼流形，就是在编码这样一族模式，它们在数学和现实中有不同的表现形式，但本质是同一个模式。
威廉姆斯： 可能是这样。格拉斯曼流形本身就具有普遍性，而"正性"不知为何恰好捕捉到了现实世界的某些性质。
斯特罗加茨： 这个故事还没结束，它还和量子物理产生了关联，特别是一种非常优美的量子场论：N=4超对称杨-米尔斯理论。
威廉姆斯： 没错。
斯特罗加茨： 我没说错吧？尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）和他的合作者在研究这个奇妙的模型时，和你的研究产生了联系。能给我们讲讲这个桥梁是怎么搭建的吗？
威廉姆斯： 好的。他们发现，正格拉斯曼流形的结构有助于理解散射振幅——散射振幅本质上是概率，描述给定动量的粒子碰撞后产生新粒子的可能性。
传统计算散射振幅的方法是用复杂的费曼图，但物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德和他的合作者发现了更简洁的方法，其中用到了大量正格拉斯曼流形的理论工具。这进而引出了一个优美的几何对象——他们称之为"振幅多面体"（amplituhedron），它的体积就能直接计算散射振幅。
斯特罗加茨： 在深入聊振幅多面体之前，我想先问一个背景问题：费曼图是物理学家计算实验所需数据的重要工具，用来匹配实验结果或预测未来实验，但计算过程非常繁琐，有时要算几千甚至更多个图，还得用计算机。
而振幅多面体的研究带来了一个惊人的发现：成千上万次计算有时可以简化为一次计算——就像计算一个形状的体积。这简直像个奇迹，为什么成千上万的步骤能被一个步骤取代？这让我想到微积分里教的"望远镜级数"，很多项加加减减后会相互抵消，最后变得很简单。我从资料里看到，你提到的"正性"似乎也能带来类似的效果——不是完全一样的抵消，但感觉有相似的味道：大量内部抵消，把复杂的东西简化成简单的结果。我这个理解对吗？就算不是细节上，至少在思路上？
威廉姆斯： 从费曼图的表达式到最简洁的表达式，确实存在很多抵消。
这个领域的一大突破是BCFW递推关系（由Britto、Cachazo、Feng和Witten提出），他们给出了一个更简洁的散射振幅递推公式。几年后，物理学家霍奇斯（Hodges）发现，在一些特殊情况下，用这个递推公式计算振幅时，得到的求和式看起来像是把某个几何对象切成碎片，再把碎片的体积加起来。
这是霍奇斯在几个特殊案例中的观察，他进而提出问题："这在一般情况下也成立吗？我们能不能把所有散射振幅都表示为某个几何对象的体积，通过切割求和来计算？"尼玛·阿卡尼-哈米德和雅罗斯拉夫·特恩卡（Jaroslav Trnka）提出的振幅多面体就是这个问题的答案。
他们定义了这个与正格拉斯曼流形密切相关的对象，并在2013年的论文中提出，振幅多面体的体积确实能计算对应的散射振幅。
斯特罗加茨： 最后我们聊聊你最近参与的"First Proof"项目。能给我们介绍一下这个项目，以及你在其中的工作吗？
威廉姆斯： 好的。"First Proof"是我们去年秋天启动的项目，旨在客观评估AI系统生成科研级数学证明的能力。媒体上对AI的能力要么过度吹捧，要么贬低，我们认为数学家应该自己探索如何在研究中利用AI，尤其是评估AI生成证明的水平。
但测试这件事很棘手，因为大语言模型（LLM）非常擅长搜索文献。如果你让AI证明一个数学命题，只要命题和证明在网上能找到，它就能搜出来。所以我们想知道，AI在生成全新的、未在网上发布过的证明时表现如何。
于是我们决定，用我们自己研究中的引理或命题——这些命题我们已经证明，但解法从未在网上发布过——作为AI的挑战题。我们11个人组成团队，从各自的研究中选出这类问题，在2026年2月6日发布在一篇论文中，向AI系统发起挑战。
斯特罗加茨： 提醒一下未来的听众，是2026年2月6日。
威廉姆斯： 没错。当时为了证明我们确实已经解决了这些问题，我们把解法加密后发布在网上，并承诺一周后公布解密密钥和完整解法。
那段时间我们非常欣慰地看到，无论是数学界（专业数学家或数学爱好者），还是大型AI公司，都对这个挑战表现出了极大的兴趣，纷纷参与尝试。
斯特罗加茨： 这些不是奥林匹克竞赛题或高中数学竞赛题，而是真正的科研级问题，不过是" bite-sized"（小块）的引理，不是整篇论文的问题。
威廉姆斯： 对。
斯特罗加茨： 这是一种全新的挑战，因为之前的基准测试大多是有数值答案的问题，而我们的问题答案是证明。我们所有问题的证明都控制在大约5页或更短。
斯特罗加茨： AI的表现如何？能评估吗？
威廉姆斯： 可以。在发布10道题之前，我们自己做了私下测试。测试的流程设计也很棘手：你可以让AI一次性给出答案，也可以和它反复对话引导它给出更好的答案。我们私下测试时用的是"一次性作答"模式，没有互动，结果发现AI能解决10道题中的2道。
斯特罗加茨： 哦，不错了，这些问题很难。
威廉姆斯： 是啊，确实不错。在那一周里，很多个人和公司都在尝试解决这些问题，收集所有提交的答案后，我们发现大概有6道题得到了正确解法。但我们不想正式评判各团队的表现，因为我们没有设定统一规则——不同的人、团队和公司用了不同的流程，互动程度也不一样，很难直接比较。
斯特罗加茨： 就在我们对话的几天前，你们发布了所谓的……叫什么来着？
威廉姆斯： 第二批次。
斯特罗加茨： 第二批次。
威廉姆斯： 对。"First Proof"是个双关语，既指"首次证明"，也指烘焙前的"醒面"（proofing the dough）。我们在2月发布了第一批次问题，就在几天前的2026年3月14日（圆周率日），我们宣布将在今年晚些时候发布第二批次问题。这些问题同样是来自数学家研究的、不同数学领域的"小块"问题，但这次我们打算把它做成更正式的基准测试，最后会统一评分。
斯特罗加茨： 太有意思了，我们拭目以待。无论是格拉斯曼流形及其相关研究，还是AI项目，你希望10年后能看到哪些突破？
威廉姆斯： 对于格拉斯曼流形，我希望它能和现实世界的更多领域产生令人兴奋的关联。对于AI，我很难预测——感觉我们做数学的生态系统正在被颠覆，我们需要找到最佳的适应方式，学会利用这些新工具。我希望10年后，AI能成为可靠的研究伙伴，比现在更值得信赖。
斯特罗加茨： 最后一个问题：作为数学家，你工作中最大的乐趣是什么？什么能给你带来快乐？
威廉姆斯： 是发现看似无关的事物之间的联系。无论是和交通流、浅水波，还是散射振幅的关联，我在研究中有很多这样的经历：和其他数学家聊天时，他们展示自己计算的一些数字，我突然发现这些数字我之前见过。这种时刻总是令人兴奋又充满好奇，就像解开一个谜团，我们要做的就是像侦探一样，找出这些对象之间的隐秘关联，并把它严谨地证明出来。
所以，最让我兴奋的就是这种发现，而真正的快乐来自于最终理解它们的关联，并完成严谨的证明。
斯特罗加茨： 太好了，和你聊天真愉快。谢谢你，劳伦。
威廉姆斯： 谢谢你，史蒂文。
[音乐起]
莱文： 哇，这有点吓人啊。我真的在想，我是不是已经写完最后一篇专业论文了？但我又想起计算机刚发明的时候——我记不清具体时间了，但你懂我的意思：当计算机变得更便宜、更普及，大型处理器能处理海量数据时，也有人说"技术人员要失业了"。你怎么看？
斯特罗加茨： 我也很困惑，真的是左右为难。你看现在还有CAPTCHA验证，让你识别图片证明自己不是机器人，这对AI来说依然很难。所以AI确实擅长某些事，但还有很长的路要走，在很多领域缺乏常识。不过回到你的问题：AI会让你我这样的人失业吗？毕竟我们做的工作和常识不太沾边——我老婆肯定第一个同意这一点。
莱文： 没错，她肯定是对的。
斯特罗加茨： 但我们的很多工作确实遵循明确的规则，相比水管工或护理人员（他们会是最后被机器人和AI取代的职业），我们似乎更有"风险"。
莱文： 我想扮演一下魔鬼代言人：我觉得AI更可能成为我们的思维伙伴，因为我还没看到AI能自己提出问题。
斯特罗加茨： 目前还不能。你觉得当AI开始和我们一起做数学，甚至取代我们时，"美"还会扮演同样的角色吗？比如作为研究方向的指引，判断问题是否值得研究，定理是否正确？
莱文： 这真是个深刻的问题。"美"的作用之一，可能是让复杂的内容变得易于人类理解——因为我们没有无限的计算能力，所以需要审美来辅助。
某种意义上，自然界已经包含了所有答案，我们的工作就是发现自然界早已存在的规律。如果AI拥有一个包含所有答案的无穷列表，但我们无法理解，那这个游戏其实并没有太大改变。你怎么看？
斯特罗加茨： 我一直在想，"理解"是不是被高估了？我的意思是，我们可能混淆了手段和目的。如果最终目标是预测自然、找到正确的公式和定理，那"理解"可能只是一种辅助手段——它帮助我们得到正确答案，更好地掌控世界，但不是最终目的。
比如，为了救人，你可能会用到一种自己不理解但有效的疗法。所以我不确定"理解"本身是不是目的。
但另一方面，有人说没有理解就不算科学，那只是科学的降级，是对人类精神的贬低。如果不能理解，做研究还有什么意义？我也不知道该怎么看，两边都有道理。
不过劳伦·威廉姆斯和她的同事做的事很有意思：他们用未发表的科研级数学问题测试AI，确保AI无法在网上搜到答案，然后看AI能解决多少道题。这是一种很有趣的基准测试，和其他方法都不一样。
莱文： 是啊，这说明AI不是在简单地复述或模仿人类的答案。
斯特罗加茨： 目前来看，AI还没有完全掌握这项能力，还没能登顶这座山峰。
莱文： 但就现在的发展而言，有没有可能出现一种AI，会说"这是个有趣的想法"，或者"我今天无聊，想试试这个"？
斯特罗加茨： 等AI能成为《追问的乐趣》的嘉宾时，我们就知道它们真的成熟了。
莱文： 是啊，比如让Claude来当嘉宾。
斯特罗加茨： 到那时候，可能我们就不是主持人了。
莱文： 是啊，想想都可怕。
斯特罗加茨： 但在那之前……
莱文： 先享受当下。
斯特罗加茨： 再见，詹娜。
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斯特罗加茨： 《追问的乐趣》是《量子杂志》出品的播客，《量子杂志》是西蒙斯基金会支持的独立编辑出版物。西蒙斯基金会的资助决策不会影响本播客及《量子杂志》的选题、嘉宾邀请或其他编辑决策。本播客由PRX Productions制作，制作团队包括凯特琳·福尔兹、杰德·阿卜杜勒-马利克、热纳维耶芙·斯庞斯勒和梅里特·雅各布，PRX Productions执行制片人是乔斯林·冈萨雷斯，埃德温·奥乔阿是项目经理。
《量子杂志》方面，西蒙·弗朗茨和萨米尔·帕特尔提供编辑指导，塞缪尔·贝拉斯科、西蒙娜·巴尔和迈克尔·坎永戈罗提供支持，萨米尔·帕特尔是《量子杂志》主编。本期节目插画由Chanelle Nibbelink创作，标志由杰基·金和克里斯蒂娜·阿米蒂奇设计。特别感谢康奈尔广播工作室的加思·埃弗里。
我是主持人史蒂文·斯特罗加茨，如有问题或评论，请发送邮件至[email protected]。
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