零的发明：从美索不达米亚到印度的概念与符号史
玛丽娅·波波娃 文
倘若古代阿拉伯世界对域外旅人紧闭大门，我们如今熟知的医学、天文学与数学都将不复存在。
人类探索宇宙本质、追寻存在意义的核心，离不开“零”这个概念。它起源于美索不达米亚，堪称人类意识史上最重大的范式转变之一：最早由前阿拉伯时代的苏美尔人（即如今的伊拉克地区）发明（或说发现），后来在古印度被赋予了符号形态。意义与符号的交织，不仅塑造了作为现实模型基础的数学，更融入人类生活的方方面面——从莎士比亚在《李尔王》中将它戏称为“没有轮廓的圆圈”，到比特的发明带来支撑数字世界的0与1，让我能敲下这些文字，你能在屏幕上阅读它们。
数学家罗伯特·卡普兰在《零的自然史：从空无到万物》The Nothing That Is: A Natural History of Zero中，记录了“空无”的革命性历程。从某种意义上说，这是一则典型的科学发现故事：人们从自然规律中提炼出抽象概念，为它命名并赋予符号；但它也是一则跨文化寓言，在时空流转中演绎着理性的魅力。
公共图书馆
卡普兰写道：
直视零，你看见空无；透过零，你将窥见世界。因为零让数学这张宏大的有机网络清晰浮现，而数学又揭示出万物的复杂本质。从计数到演算，从估算概率到精准预判人生浪潮的起落，数学这盏明灯指引我们看清万物相互交织的轨迹——所有这一切，都围绕着最微小的支点“零”运转。
借助这些思维工具，我们得以窥见支配万物循环与变化的隐藏规律。就连人类心智本身，也在数学中得到映照，它的无尽镜像时而令人困惑，时而又启迪真知。
……
追溯零的符号与意义演变，我们将见证数学如何被人类创造、为人类所用。它并非神赐之物，只向执着求索的人展露真容。
围绕“数学是被发现还是被发明”这一永恒命题——库尔特·哥德尔与维也纳学派曾就此展开著名辩论——卡普兰提出思考：
零究竟是客观存在的实体，还是人类虚构的概念？这个令人不安的问题，引出了那个亘古谜题：我们究竟是发明了万物规律，还是仅仅发现了它们？进而指向更深刻的议题：人类在万物层级中处于何种位置？我们究竟是受造物，还是造物主？在认知世界的能力上，我们是否逊色于天使，或是仅略逊一筹？
《失落的一角遇见大圆满》
如同所有具有变革意义的发明，零的诞生源于需求：人们需要一种更优雅的计数方式，摆脱大数字带来的混乱。卡普兰写道：
零的职业生涯始于两块压在湿黏土上的楔形刻痕。彼时，一项精妙的思维创举为人类带来了计数的技艺。
……
故事要从五千年前的苏美尔人说起。这群充满活力的族群定居在美索不达米亚（今伊拉克境内）。当你在他们的泥板上读到这样一段父子对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么迟到？”，会突然意识到，五千年不过如同一个傍晚那样短暂。
苏美尔人采用1、10与60混合的计数法。这看似怪异，直到你想起我们如今也在这么做：一小时60分钟，一圈360度（即6×60）。更不必说一年12个月、一周7天、一天24小时、一磅或一品脱16盎司。直到1971年，英国还沿用12便士等于1先令、20先令等于1英镑的计数体系。
探究这些不同计数体系的起源，你会揭开一段段习俗与妥协交织的历史，原本看似怪异的规则，竟会变得无比自然。苏美尔人的60进制（sexagesimal），很可能源于他们与另一文化的贸易往来——对方的重量（进而货币）体系与他们截然不同。
协调十进制与60进制的需求，让苏美尔人日渐困惑。他们用空心芦苇尖在湿黏土上按压出圆形与半圆形，再经烘烤定型来记录文字。后来芦苇被换成三棱笔，通过不同角度的楔形刻痕代表不同数字、数量与概念。卡普兰还原了公元前2000年苏美尔数字系统的样貌：
这套繁琐的体系沿用了数千年，直到公元前6世纪至公元前3世纪之间，有人想出用刻痕分隔会计栏的办法，以此表示“此栏无数值”——零的概念（而非符号）就此诞生。卡普兰写道：
在基什出土的一块泥板（年代可追溯至公元前700年）上，书吏用三道钩状刻痕表示零，而非两道斜楔形，看起来像数字30；同期另一位书吏则只用一道刻痕，与他写的数字10难以区分。这是粗心所致？还是说明我们正处于分隔符号演变为零的早期阶段，它的意义与形态尚未定型？
但零险些随着孕育它的文明一同消逝。它的故事顺着历史轨迹从美索不达米亚来到古希腊，在这里，对零的需求再次觉醒。卡普兰提到阿基米德及其大数命名体系：“万”（myriad）是希腊语中最大的数字名称，代表10000。这位伟大的希腊博学家提出“大数阶”的概念，距离发明幂的概念仅一步之遥，但他带来了更重要的东西——正如卡普兰所说，他教会我们“如何尽可能具象地思考极大数，通过逐步构建的方式接近它，而非在浩瀚面前让思维涣散，从而得以区分这类大数与无穷的界限”。
无穷的概念，在某种意义上催生了为其镜像“空无”命名的需求（负数的出现还为时尚早）。尽管希腊人没有“零”这个词，但他们显然察觉到了它的存在。卡普兰写道：
我们是否都有一种古老的直觉：事物要存在，必须有名字？许多孩子不愿接受“数字无穷无尽（只需给最大的数加1即可）”的说法，因为名字总会用完。对他们而言，古戈尔（1后面加100个零）是鲜活的大朋友，古戈尔普勒克斯（10的古戈尔次方，延续阿基米德的精神）也是如此。
……
阿基米德没有使用零，而是用“万万”“阶”“期”等命名大数，为浩瀚的数字赋予了建构性的生命力——即便我们无法完全把握，也让它离我们更近了一步。
我们通常认为，命名赋予存在以意义。但名字属于“事物”，而零并非事物——它是“无物”。卡普兰思考这一悖论：
名字属于事物，零却属于空无。它计量的是“不存在之物”的总和。照此逻辑，它无处不在：比如那个装着7个（现在是6个）苹果的碗里，蜂鸟的数量就是零。那么零究竟命名了什么？它仿佛格特鲁德·斯泰因笔下的奥克兰，“那里什么也没有”。
零仍是数学想象中一个无名的概念，在古代世界继续着它的旅程，直到被赋予名字。离开巴比伦与希腊后，它来到了印度。公元876年的一块石碑上，首次出现了作为符号的零，石碑上刻着一座花园的尺寸：270×50，写作“27°”与“5°”。卡普兰指出，更早三百年的铜板上也出现过同样的小零，但由于11世纪伪造品泛滥，这些铜板的真实性无法确认。他写道：
如果你愿意在朦胧的迷雾中辨认模糊的痕迹，可以尝试将印度零的起源追溯至876年之前。为何要费这番功夫？因为每个故事都像一场梦，有一个深邃的核心：所有话语都似神谕，所有景象皆为预兆。围绕这些意象的解读，如同沸腾的泡沫翻涌不息。对我们而言，这个核心就是地中海古代世界与印度古代世界的分界。
若要为古印度的零找一位“祭司”，无疑是数学家兼天文学家阿耶波多（Āryabhata）。他的身世如同莎士比亚一样神秘，但无论他是一人还是一群人的合称，其遗产都是零的故事中不可磨灭的部分。
卡普兰写道：
阿耶波多想要一种简洁的方式存储（而非演算）大数，于是想出一套奇特的方案。倘若我们还没有位值记数法——比如9871中的8代表800，因为它位于百位——我们或许会这样写：9T8H7Te1，其中T代表“千”，H代表“百”，Te代表“十”（事实上，我们平时读数字就是这么做的，货币金额也常如此表达：£3.4s.2d）。阿耶波多的思路类似，只是更抽象一层。
他编造了一些无意义的词，音节代表数位上的数字：辅音对应数字，梵语的9个元音对应数位。前三个元音是a、i、u，若要写386（他的写法是先写6，再写8，最后写3），就需要第六个辅音c加a（表示c在个位）、第八个辅音j加i、第三个辅音g加u，即CAJIGU。但这套体系只有9个数位，作为天文学家，他需要更多数位。于是他设计了一套复杂的解决方案：将9个元音各用两次，扩展为18个数位（a、a、i、i、u、u……）；再将辅音分为两组，第一组用于奇数位，第二组用于偶数位。如此一来，386实际会被写成CASAGI（c是第一组第六个辅音，s实际是第二组第八个辅音，g是第一组第三个辅音）……
这套体系显然没有零，但有趣的是，阿耶波多在解释时说：“九个元音要用于两组数位”——他用“kha”表示“数位”。后来，kha成了印度最常用的“零”的代称之一。这仿佛是一场理念演变的慢镜头：从“命名式”记数到位值记数，从“可填充空位”到“空数”——零成为独立的数字，推动其他数字归位。
卡普兰反思零背后的多元文化知识遗产：
拥有零的符号固然重要，但拥有零的理念更为关键。无论这理念直接来自巴比伦人，还是经由希腊人传入，在印度，它面临着一个决定性的转变：它将是“数字的缺失”，还是“代表缺失的数字”？它是“空位标记”，还是“空的标记”？前者让它游离于数字之外，只是数字运行的背景；后者则让它与其他数字平起平坐。
在《零的自然史》The Nothing That Is余下的精彩篇章中，卡普兰继续探索玛雅、罗马等不同文化如何为零的跨文明拼图添砖加瓦，最终形成现代数学中的零；同时剖析它对哲学、文学乃至数学领域的深远影响。不妨搭配这篇维多利亚时代的数学情书，以及波斯博学家伊本·西如何革新现代科学的插画故事一同阅读。
—— 2026年9月2日发布 —— https://www.themarginalian.org/2026/09/02/zero-robert-kaplan/ ——
