数学的开端：AI 时代人类数学实践的重构
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三年前，AI系统连可靠地做加法都做不到；一年前，OpenAI和DeepMind的内部模型在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中取得了金牌级别的成绩；如今，这些系统已能自主攻克重大数学开放问题。很难想象这样的发展速度还能维持一年，但我认为它会持续下去。显然，这要求我们彻底反思数学这一职业的定位。
本文的前提是：在数学的绝大多数甚至所有领域都远超人类的AI系统很快就会出现。不过，我提出的具体制度改革只需要一个更温和的前提——数学文本的产出正越来越脱离人类的数学理解。
我们到底在追求什么？
如今显而易见的是，数学界对自身目标缺乏共识：有人以解决问题为己任，有人把数学视为游戏或诗歌；有人信奉希尔伯特的名言"我们必须知道，我们必将知道"https://www.daniellitt.com#user-content-fn-3；有人认为数学是在探索柏拉图式理念世界的奥秘；还有人认为，数学的目标是传递对数学的热爱与理解，将这份热忱延续到下一代。
https://www.daniellitt.com#user-content-fn-4我个人的答案带有一定的自我指涉性，可概括为两点：
- 产出并理解高质量的数学成果；
- 培养高水平的数学家。
这两个目标的内涵应被宽泛地解读。"高质量数学"的定义随时代发生了巨大变化，它是整个数学界共同建构的产物。我们的职责不只是培养从事数学研究的博士生，向公众普及高质量数学与数学思维，也是我们工作中至关重要却常被忽视的一部分。https://www.daniellitt.com#user-content-fn-8
无论目标是什么，我们主要通过"证明定理"来落实它们。几乎所有论文或博士论文都有一个核心定理，表面上也附带着证明。但必须明确的是，数学的目标绝非证明定理——如果真是如此，自动化就太简单了：一台电脑甚至一只猴子，都能从ZFC公理出发，机械地应用推导规则，完全无需理会其意义。当定理解决了某个长期悬而未决的开放问题时，它才具有特殊意义，但这同样可以自动化：电脑或猴子只需按字母顺序枚举所有数学命题即可。
数学界对定理证明与开放问题求解技术的态度表明，我们对自身价值的这些落实方式至多是不完整的。
想到通过枚举所有猜想和ZFC定理来自动化数学，你或许不会感到不安。但不妨假设这台电脑或猴子非常"聪明"：它理解自己证明的结论，能写出优美的阐释文字；它知道人类觉得什么问题有趣，并专注于这些问题；它在枚举ZFC定理的过程中，解答了许多我们最迫切的开放问题，还提出了更多根本性的新问题。那么，人类数学家还有存在的必要吗？
我认为有必要。这台机器或许能产出我们珍视的答案，但它本身无法让人类理解这些答案。事实上，我认为我们正处在一场令人惊叹的数学爆发的开端，如果我们重视人类的理解，未来对人类数学家的需求会比以往任何时候都更大——只是这个职业必须做出改变。
在变革过程中，我们需要决定哪些东西该保留，哪些该舍弃。我希望保留的有：学习研讨班、能激发灵感的偶然对话、学生敲开教授的门讨论数学的场景；一个充满活力、共同学习前沿数学的社群；成千上万的人一起慢慢解开心中的困惑。
我担心，包括我自己过去的一些文章在内，许多相关讨论过于执着于保留学术数学现有制度的具体形态，而非其背后的价值。比如：如何保留期刊和同行评审体系？https://www.daniellitt.com#user-content-fn-11如何保护arXiv平台？如何维持我们作为"守门人"的角色？如果你意识到，现有AI系统只需几美元的边际成本就能产出高质量成果，就会明白当前的学术生态不可能在即将到来的变革中幸存。
在寻找新的平衡时，我们或许会试图紧跟AI模型的能力边界。目前，AI在构建理论、提出问题、阐释内容等方面的表现可能还不如人类，于是我们可以优先培养并奖励这些技能。但我认为这并不明智：对比学术体系的适应速度与AI模型的能力提升速度，我们需要着眼于最终局面。如果AI在某些领域始终无法胜任，我们之后再调整也不迟。
在提出具体的改革措施前，我想先谈谈我们要保护数学免受什么影响。目前很多人对AI实验室及其工作人员感到愤怒，但无论我们如何评判这些实验室，都需要一套不依赖AI消失的应对方案。核心问题并非实验室的行为是否合乎伦理https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-1，而是技术本身。有人或许认为，AI实验室明年就会"转战"其他领域，或是被国有化、拆分，又或是科技泡沫破裂，一切回归常态……但任何人只要有一台笔记本电脑和几百美元，就能生成去年足以发表在《数学年刊》（Annals）上的成果，在这样的现实下，现有学术制度不可能毫发无损地存续。AI不会在乎你是否反对它。
培养高水平数学家
当前数学界最紧迫的问题是：我们的学生应该做什么？如今，有人甚至能写出自己都没读过的博士论文；从体现理解程度的角度看，数学文本的价值已名不副实https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-2——文本质量不再能可靠地反映创作者的真实水平。
在我看来，无论来源如何，只要是有趣的数学成果都值得欢迎。但长期以来，我们的学术体系用同一个指标同时衡量数学进展与数学能力，现在必须将二者区分开来。
我建议重新定义数学博士学位的目标：成为某个有趣且深刻的数学领域的世界级专家，并能将对该领域的兴趣与理解传递给他人。落实这一目标的方式或许包括撰写论文，但学位的授予应主要基于严格的答辩——学生需向考官讲解自己的研究课题，直到考官确信其真正理解为止。我们可能会要求课题具有原创性，但原创性的来源是AI还是人类，无关紧要。https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-3
这种模式与当前的博士培养有何不同？学生仍会与导师见面，导师可能会建议研究方向。学生可以借助AI探索课题，也可以不借助，但必须对课题有深入理解；课题可能会比现在的博士论文更开放、更宏大。学生将被训练提出有趣的问题，并通过任何可行的方法尝试解决。为了确保学生的进度，我们可以安排定期会面，让学生独立分析陌生案例、在新场景中应用某种技术，等等。
如果我们想保留人类的数学能力，招聘、研究生招生等资源分配环节急需改革。总体而言，我们应重视并奖励那些无法被自动化的技能：内在的数学理解能力，以及社交层面的沟通协作能力，同时建立尽可能贴近这些核心能力的评价体系。例如，学术报告和深入的数学讨论如今比论文更能体现一个人的真实理解，等到AI在阐释和"消化"内容方面的能力提升后，这一点会更加明显。我们早已对教职候选人进行面试，现在研究生招生也应采用同样的方式。
我们应着力打造扎实的研讨班文化，要求演讲者将内容讲解到让听众满意为止。最近包括我在内的许多人都提到，我们真正关心的是理解，而非仅仅知道数学命题的真假。如果真是如此，我们就要确保彼此能真正理解对方。
目前，AI系统能产出达到一定水准的数学成果，依赖于数学界提出了大量开放猜想——这些猜想的趣味性，由关注它们的人类数学家所证明。https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-4这一事实的重要性让我意识到，数学界承担着一个可能被我们低估的关键职能：判断什么问题是有趣的。我尚未完全想清楚如何落实这一点，但一种可能的方式是，奖励那些能说服他人其价值的**研究纲领**——无论是否借助AI。
需要明确的是，我并非认为AI无法提出有趣的问题、做出有趣的猜想或开展有趣的研究。我相信AI很可能具备这些能力，从而产出海量的PDF文档。其中一些内容可能具有重要应用价值，但另一些的意义仅在于揭示了基础数学对象的某些本质，只有当人类能够并愿意与之互动时，它们才会积累价值。在我看来，建立一个研究社群来参与这些成果的解读，是我们人类的责任，我们应当为此奖励相关数学家。即便AI能提出绝佳的问题，也没有理由认为它会提出与人类相同的问题。
所有这些改革都旨在增加我们之间关于数学的交流。在我看来，即便没有AI，这样的变化也是积极的。
我认为，无论是像我一样热衷于AI的数学家，还是不使用AI的数学家，未来都有各自的生存空间。但随着AI模型产出海量数学成果，我们不可能完全避开它们的输出。
产出高质量数学成果
在思考如何重塑数学职业时，有一点至关重要：无论是否愿意https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-5，我们都无法阻止任何人——无论是业余爱好者还是专业人士——按下按钮生成数学成果。指望说服人们不再用AI探索数学，或是试图为研究生"保留"某些问题，都是不现实的。
而且我们也不应该这么做！
我之前提到，解决问题与开放猜想只是我们价值的不完整体现，但解决问题和猜想本身依然重要！这些解决方案的来源，仅在涉及现有职业体系的激励机制、声望分配等问题时才有意义，而无论如何，现有体系都需要变革。
数学曾是最廉价的科学，但如今我们面临的最大变化是：一部分数学问题只需投入资金就能解决。我知道有些同事对此感到沮丧——在过去，这些问题可能会凝聚起一个研究社群，催生有趣的衍生成果，等等，但现在这类附带性的进展可能不会再发生了。
但你难道不相信数学的魅力吗？永远有更多东西值得我们去探索。如果一顿丰盛晚餐的花费就能解决一个基础问题，我们应该感到高兴。但这仅仅是开始：我们会追问这个答案能解释什么、能帮助我们理解什么，进而引出更多新问题——其中一些可能又只需一顿晚餐的花费就能解决，另一些则会让我们陷入新的困惑，从而催生新的研究社群。
我们这位勤勉的新助手会产出数量惊人的数学成果，要么追随我们的兴趣，要么探索它自己的方向。我们会有自己的问题与困惑：有时AI能解答，有时不能；有时答案非常复杂，我们会专门开设研讨班来学习；有时进展甚微，但问题本身极具吸引力，足以凝聚起一个研究社群。
某个学生会陷入困惑，敲开教授的门。他们或许会向AI求助，或许不会，但首先可能会在黑板前一起思考。AI可能会给出精妙的解释，但我们都知道这还不够——没有人能替我们理解数学，我们必须自己付出努力。
值得我们学习的东西无穷无尽。我们始终站在起点，也将永远站在起点。
致谢
感谢Mohammed Abouzaid、alz、Boaz Barak、Frank Calegari、Ben Church、Jennifer Cutler、doomslide、Elden Elmanto、Francesco Fournier-Facio、Tony Feng、Dan Freed、Peli Grietzer、Michael Groechenig、Stephanie Koh、Joshua Lam、Mark Sellke、Ravi Vakil和Amal Vayalinkal对本文提出的意见。
注释
- 我很后悔选了这个标题。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-1
- 希尔伯特的完整观点至今仍有意义："我们不能相信那些带着哲学腔调、煞有介事地预言文化衰落并接受'我们不知道'（ignorabimus）的人。对我们而言，没有'我们不知道'，在我看来自然科学中也不存在。与荒谬的'我们不知道'相对，我们的口号是：'我们必须知道，我们必将知道'（Wir müssen wissen – wir werden wissen）。"[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-2
- 这个表述得益于Peli Grietzer。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-3
- 请注意，这张清单主要包含内在与社交层面的职能（理解、判断趣味性、教学等），与我们当前的落实方式（证明定理、解决问题等）形成对比。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-4
- 这套体系在AI出现前就已濒临崩溃，早就需要彻底改革。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-5
- 显然有些AI实验室的行为不符合伦理，但即便所有实验室都行为合规，AI的能力仍会迫使我们彻底调整学术制度。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-6
- 这并不是说这些文本一定没有价值。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-7
- 这是现实的必然选择。我们无法强制核查成果来源，试图这么做只会催生隐瞒AI使用的动机。不过，我认为仅仅是按下按钮、未深入理解内容的人，几乎不可能通过严格的答辩。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-8
- 需要明确的是，事后看来，许多开放猜想的趣味性可能不如预期，它们本身并非最终目的。它们往往是衡量我们对某个对象理解不足的标尺，但有时即便被解决，也无法增进我们的理解。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-9
- 总体而言我对此持积极态度，尽管有时收件箱里的粗糙PDF会让我恼火。我花了些时间才意识到，这些PDF表达了一种对理解的需求：生成它们的人往往无法真正理解内容，他们需要知道有人能理解、有人在乎。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-10
- 我们无法为研究生"保留"问题，并不意味着不能给他们研究这些问题的机会。这与前文重新定义的博士培养模式并不冲突。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-11
- 有人认为，用AI解答数学问题的兴趣可能很快消退，但在我看来，只要我们关心的问题尚未解决，这种兴趣就不会消失。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-12
- 这里指的是边际成本。Michael Groechenig指出，我们不应直接对比机器和人类证明定理的成本，因为二者的产物可能不同：只有人类的研究能同时培养人的理解能力与专业素养，而我认为这种能力与素养本身就有价值，独立于研究成果之外。[返回正文]https://www.daniellitt.com#user-content-fnref-13